Question

已知函数y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）要使f（x）在（0，2）上单调递增，试求a的取值范围；
（2）当a＜0时，若函数满足y_极大值=1，y_极小值=-3，试求函数y=f（x）的解析式．

Answer

（1）要使f（x）在（0，2）上单调递增，则f'（x）≥0在（0，2）上恒成立，由此可求得a的取值范围；
（2）令f′（x）=-3x2+2ax=0，求得极大值点与极小值点，结合足y极大值=1，y极小值=-3，可求得a，b的值，从而求得函数y=f（x）的解析式．
【解析】
（1）f'（x）=-3x2+2ax，要使f（x）在（0，2）上单调递增，
则f'（x）≥0在（0，2）上恒成立．
即，
∴a≥3．
（2）令f′（x）=-3x2+2ax=0，得x1=0，x2=a．
∵a＜0，
∴y极大值=f（0）=b=1，
y极小值=f（a）=-a3+a3+1=-3，
∴a=-3，
∴f（x）=-x3-3x2+1．