Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，EF⊥PB交PB于点F．
（1）若PD=DC=2，求三棱锥A-BDE的体积；
（2）证明PA∥平面EDB；
（3）证明PB⊥平面EFD．

Answer

（1）设CD的中点为H，连接EH，说明EH⊥底面ABCD，三棱锥E-ABD的高是EH，利用VE-ABD=VA-BDE，求出三棱锥A-BDE的体积．
（ 2）证明：连接AC，AC交BD于O，连EO证明PA∥EO，而EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，得到PA∥平面EDB．
（ 3）证明DE⊥PC．BC⊥DE．DE∩EF=E，然后证明PB⊥平面EFD．
【解析】
（1）设CD的中点为H，连接EH，由题意得EH∥PD，且EH=PD=1，
因为PD⊥平面ABCD，所以EH⊥底面ABCD，
故三棱锥E-ABD的高是EH，
其体积为：=．
因为VE-ABD=VA-BDE所以三棱锥A-BDE的体积为：．
 （ 2）证明：连接AC，AC交BD于O，连EO，∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC中点，在△PAC中，EO是中位线，
∴PA∥EO，而EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（ 3）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，
∴PD⊥DC．
∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC．①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形有DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC，而DE⊂平面PDC，
∴BC⊥DE．②
由①②得DE⊥平面PBC，而PB⊂面PBC，
∴DE⊥PB，又EF⊥PB且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．