设椭圆的左，右两个焦点分别为F1，F2，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为...

设椭圆

的左，右两个焦点分别为F₁，F₂，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F₁PF₂Q为正方形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为 manfen5.com 满分网

，求此椭圆方程．

（1）根据题意可表示出P的坐标和F1的坐标，利用正方形的性质推断出，进而利用椭圆a，b和c的关系求得a和b的关系，则椭圆的离心率可得．（2）先根据B的坐标，利用几何关系求得一条切线的斜率，利用点斜式表示出直线的方程，利用截距求得c，进而求得a和b，则椭圆的方程可得．【解析】（1）由题意知：，设F1（-c，0）因为F1PF2Q为正方形，所以即b=3c，∴b2=9c2，即a2=10c2，所以离心率（2）因为B（0，3c），由几何关系可求得一条切线的斜率为所以切线方程为，因为在轴上的截距为，所以c=1，所求椭圆方程为：

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考点分析：

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已知⊙C：x²+（y-1）²=25，，直线l：mx-y+1-4m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与⊙C总有两个不同的交点A，B．
（2）求弦长AB的取值范围．
（3）求弦长为整数的弦共有几条．

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如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AA₁=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（ 2）求证：AC₁∥平面CDB₁．