Question

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG=4，AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点．
（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
（2）求点D到平面PBG的距离；
（3）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

Answer

（1）以G点为原点，GB，GC，GP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出两条异面直线对应的向量，根据两个向量的所成的角确定异面直线所成的角．
（2）计算点到面的距离，需要先做出面的法向量，在法向量与点到面的一个点所成的向量之间的运算，得到结果．
（3）设出点的坐标，根据两条线段垂直，得到两个向量的数量积等于0，解出点到坐标，根据向量的模长之比等于线段之比，得到结果．
【解析】
（1）以G点为原点，GB，GC，GP为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（0，2，0），

P（0，0，4），故E（1，1，0）=（1，1，0），=（0，2，4）．
cos=，
∴GE与PC所成的余弦值为
（2）平面PBG的单位法向量=（0，±1，0）
∵，
∴点D到平面PBG的距离为|•|=
（3）设F（0，y，z），则
∵，
∴，
∴y=，又，即（0，，z-4）=λ（0，2，-4），∴z=1，
故F（0，，1），，，
∴=3．