Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，截面ABC₁D₁为正方形．
（1）求长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积；  
（2）求证：A₁D⊥平面ABC₁D₁．

Answer

（1）在直角三角形AA1D1中，求出AD1，通过截面ABC1D1为正方形，求出AB，然后求解长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V；  
（2）证法一：证明AB⊥A1D，AD1⊥A1D，通过AB∩AD1=A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，证明A1D⊥平面ABC1D1．
证法二：证明平面ABC1D1⊥平面AA1D1D，证明AD1⊥A1D，平面ABC1D1∩平面AA1D1D=AD1，A1D⊂平面AA1D1D，即可证明A1D⊥平面ABC1D1．
满分（14分）．
（1）【解析】
在直角三角形AA1D1中，AA1=1，A1D1=AD=1，
∴．…（2分）
∵截面ABC1D1为正方形，
∴．…（4分）
∴长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=．…（6分）
（2）证法一：∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，
∴AB⊥平面AA1D1D．
∵A1D⊂平面AA1D1D，
∴AB⊥A1D．…（8分）
∵AD=AA1，
∴四边形AA1D1D为正方形．…（10分）
∴AD1⊥A1D．…（12分）
∵AB∩AD1=A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，
∴A1D⊥平面ABC1D1．…（14分）
证法二：∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，
∴AB⊥平面AA1D1D．
∵AB⊂平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1⊥平面AA1D1D．…（8分）
∵AD=AA1，
∴四边形AA1D1D为正方形．…（10分）
∴AD1⊥A1D．…（12分）
∵平面ABC1D1∩平面AA1D1D=AD1，A1D⊂平面AA1D1D，
∴A1D⊥平面ABC1D1．…（14分）