Question

（本小题满分15分）已知函数．

（1）当时，求在最小值；

（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；

（3）求证：（）．

Answer

(1) ；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：(1)由求导判的函数在上单调递增，可求函数的最小值；（2）因存在单调递减区间，所以有正数解，再分类讨论对类一元二次函数存在正解进行讨论.（3）利用数学归纳法进行证明即可.

试题解析：（1），定义域为．

       ，                       

       在上是增函数．

.

（2）   因为

因为若存在单调递减区间，所以有正数解.

即有的解 

当时，明显成立 .

②当时，开口向下的抛物线，总有的解；

③当时，开口向上的抛物线，

即方程有正根.

因为，

所以方程有两正根.

当时，；                        ……… 4分

，解得．                             

综合①②③知：．                                       ……… 9分

（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．

令，则有，    ．

，

．                                 ……… 15分

 (法二)当时，．

，，即时命题成立．

设当时，命题成立，即 ．

 时，．

根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．

因此，由数学归纳法可知不等式成立．                            ………15分

考点：1.求导判单调性；2.方程与根的关系；3.数学归纳法.