Question

给出下列四个命题：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1；
②已知，与的夹角为，则在上的投影为1；
③若，则p＞q；
④已知f（x）=asinx-bcosx在x=处取得最大值2，则a=1，b=；
其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确的命题的序号都填上）

Answer

①②③④依次分析命题：当0＜x≤1时，|x-lgx|=x+|lgx|；当x＞1时，|x-lgx|＜x+|lgx|，故①成立；直接根据向量投影的定义得到②成立；分别计算p和q的范围，可得③不成立；
f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=处取得最大值2，可以利用和角公式对其变形，得到④不成立，综合可得答案．
【解析】
对于①：当0＜x＜1时，|x-lgx|=x+|lgx|；
当x=1时，|x-lgx|=x+|lgx|；
当x＞1时，|x-lgx|＜x+|lgx|．
∴若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1，即①成立；
对于②：∵在上的投影为||cos＜，＞=2×cos=2×=1，故②成立；
对于③∵p=a++2≥2+2=4，q=≤=4，
∴p≥q，即③不成立；
对于④∵f（x）=asinx-bcosx=sin（x-φ），且tanφ=．
又f（x）=asinx-bcosx在x=处取得最大值2；
∴-φ=2kπ+⇒φ=-2kπ-⇒tanφ=-，故a，b异号，即④不成立．
即成立的只有①②．
故答案为；  ①②．