Question

设关于x的一元二次方程2x²-ax-2=0的两根为α，β（其中α＜β），函数．
（1）若a=1，求f（α）+f（β）的值；
（2）用单调性的定义证明f（x）在（α，β）上是增函数．

Answer

（1）关于x的一元二次方程2x2-ax-2=0的两根为α，β，a=1，可得，αβ=-1，故可求f（α）+f（β）的值；
（2）利用单调性的定义，设α＜x1＜x2＜β，则f（x1）-f（x2）=，可确定f（x1）＜f（x2），从而f（x）在（α，β）上是增函数．
（1）【解析】
∵关于x的一元二次方程2x2-ax-2=0的两根为α，β，a=1，
∴，αβ=-1．（2分）
∴==-1（6分）
（2）证明：设α＜x1＜x2＜β，则
f（x1）-f（x2）=，
∵4+a（x1+x2）-4x1x2=-4αβ+2（α+β）（x1+x2）-4x1x2=2[（x1-β）（α-x2）+（x1-α）（β-x2）]＞0
而x1-x2＜0，
∴f（x1）＜f（x2）
所以f（x）在（α，β）上是增函数．（12分）