Question

已知两个二次函数：f（x）=ax²+bx+1与g（x）=a²x²+bx+1（a＞1）．若x₁，x₂（其中x₁＜x₂）是方程f（x）=0的二根；若x₃，x₄（若是x₃＜x₄）是方程g（x）=0的二根．则 x₁，x₂，x₃，x₄的大小关系是（ ）
A．x₁＜x₃＜x₄＜x₂
B．x₃＜x₁＜x₂＜x₄
C．x₁＜x₃＜x₂＜x₄
D．x₃＜x₁＜x₄＜x₂

Answer

构造两个函数：F（x）=f（x）-1，G（x）=g（x）-1，通过讨论它们的零点，得出它们的根之间的大小关系．然后通过分类讨论和在同一坐标系里作出F（x）和G（x）的图象，然后将两个图象向上平移一个单位，可得x1，x2，x3，x4的大小关系，最后综合可得出正确的大小关系．
【解析】
记函数F（x）=f（x）-1=ax2+bx，G（x）=g（x）-1=a2x2+bx
两个函数有公共的零点x=0，此外F（x）还有一个零点x=，G（x）还有一个零点x=，
①因为a＞1，当b＜0时，
得必定有，
在同一坐标系里作出F（x）和G（x）的图象：

将此两个图象都上移一个单位，可得函数f（x）和g（x）的图象
所以由图象可得x1＜x3＜x4＜x2
②当b＞0时，同理可得四个根的大小关系：x1＜x3＜x4＜x2
综上所述，可判断x1，x2，x3，x4的大小关系为：x1＜x3＜x4＜x2
故选A．