Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数n都有S_n=2a_n-3n．
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求数列{na_n}的前n项和．

Answer

（1）利用Sn=2an-3n对于任意的正整数都成立，推出Sn+1=2an+1-3（n+1），推出an+1+3=2（an+3），构造新数列{bn}是等比数列．求出bn，然后求{an}的通项公式．
（2）通过（1）的结果，推出数列{nan}的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和．
【解析】
（1）∵Sn=2an-3n对于任意的正整数都成立，
∴Sn+1=2an+1-3（n+1）
两式相减，得Sn+1-Sn=2an+1-3（n+1）-2an+3n
∴an+1=2an+1-2an-3，
即an+1=2an+3
∴an+1+3=2（an+3），
即对一切正整数都成立．
∴数列{bn}是等比数列．
由已知得 S1=2a1-3即a1=2a1-3，
∴a1=3
∴数列{bn}的首项b1=a1+3=6，公比q=2，
∴
∴
（2）∵，
∴，
，
两式相减得
=，
．