Question

已知函数f（x）=
（1）它是奇函数还是偶函数？并给出证明．
（2）它的图象具有怎样的对称性？
（3）它在（3，+∞）上是增函数还是减函数？并用定义证明．

Answer

（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再利用奇函数定义证明函数为奇函数；（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；（3）利用函数单调性的定义，先设∀x1、x2∈（3，+∞），且x1＜x2，再利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小，从而证明函数的单调性
【解析】
（1）此函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
f（-x）==-=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数 
（2）∵函数f（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数 
∴其图象关于原点对称．
（3）函数f（x）==x+在（3，+∞）上是增函数  
 证明：设∀x1、x2∈（3，+∞），且x1＜x2，
则
=
∵3＜x1＜x2
∴
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴在（3，+∞）上是增函数
即函数函数f（x）=在（3，+∞）上是增函数