Question

设函数f（x）=（ax²-2x）e^-x（a＜0），其中e是自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）设f（x）在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer

（1）求导函数f′（x）=[-ax2+2（a+1）x-2]e-x，再求相应方程的根，并确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极值点；
（2）因为f′（0）=-2＜0，所以f（x）在[-1，1]上是单调减函数，所以f′（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，即-ax2+2（a+1）x-2≤0在x∈[-1，1]上恒成立，构造函数g（x）=-ax2+2（a+1）x-2，可求a的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=[-ax2+2（a+1）x-2]e-x，
由，
∵a＜0
∴函数在（-∞，x1），（x2，+∞）上单调增，在（x1，x2）上单调减，
∴x1是极大值点，x2是极小值点．
（2）因为f′（0）=-2＜0，所以f（x）在[-1，1]上是单调减函数，
所以f′（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，
即-ax2+2（a+1）x-2≤0在x∈[-1，1]上恒成立，
∵a＜0
∴-1≤x1＜x2≤1
设g（x）=-ax2+2（a+1）x-2
∴
∴
∴
∵a＜0
∴
∴a的取值范围是．