Question

已知函数f（x）=x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（II）当a=3时，求函数h（x0的单调区间及极值；
（III）若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函数h（x）满足，求实数a的取值范围．

Answer

（I）求出函数的导函数，利用基本不等式求出函数的最小值，验证等号何时取得．
（II）将a的代入h（x），求出导函数，列出x，h′（x），h（x）的变化如下表，求出极值．
（III）构造新函数令，通过函数F（x）在（0，+∞）单调递增令导函数大于0恒成立，根据二次函数的图象，只需判别式小于等于0，求出a的范围．
【解析】
（I），其中x＞0．
因为a＞1，所以a-1＞0，又x＞0，所以，
当且仅当时取等号，其最小值为．…（4分）
（II）当a=3时，，．…..（6分）
x，h′（x），h（x）的变化如下表：

x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）
h′（x） + - +
h（x） 递增 递减 2ln2-4 递增

所以，函数h（x）的单调增区间是（0，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）．
…．（8分）
函h（x）在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小2ln2-4．
…．（10分）
（III）由题意．
不妨设x1＜x2，则得h（x1）+x1＜h（x2）+x2．…（12分）
令，则函数F（x）在（0，+∞）单调递增．
=在（0，+∞）恒成立．
即G（x）=x2-（a-1）x+a-1≥0（在0，+∞）恒成立．
因为，因此，只需△=（a-1）2-4（a-1）≤0．
解得1＜a≤5．
故所求实数a的取值范围1＜a≤5．…．（14分）