Question

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（I）设P为线段AC的中点，试在线段AB上求一点E，使得PE⊥OA；
（II）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

Answer

（I）以O为坐标原点，分别以OA、OF、OC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设=λ，我们求出向量，的根据PE⊥OA，我们易构造关于λ的方程，解方程求出λ的值，进而求出P点的位置；
（II）我们求出平面ABC的法向量和平面OAC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角O-AC-B的平面角的余弦值．
【解析】
在平面内AOB过点O作OF⊥OA交AB于点F．
以O为坐标原点，分别以OA、OF、OC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（如图）．…（1分）
则A（1，0，0）、C（0，0，1）、B（-，，0）、P（，0，）．…．…..（3分）
（I）设=λ（0＜λ＜1），因为=（-，，0），
所以=+=（1，0，0）+λ（-，，0）=（1-λ，λ，0），
=-=（-λ，λ，-），
因为PE⊥OA，所以•=0．即-λ=0，解得λ=．
故所求点为E（，，0）．
即点E为线段AB的三等分点（靠近点A）．…（7分）
（II）设平面ABC的法向量为=（x，y，z），=（1，0，-1），
由得．
令z=1得x=1，y=．即=（1，，1）．…..（9分）
又=（0，1，0）是平面OAC的法向量，…（10分）
所以cos＜，＞=．
故二面角O-AC-B的平面角的余弦值为．…（12分）