Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：
①f（x）的解析式为：f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]； ②f（x）的极值点有且仅有一个；  ③f（x）的最大值与最小值之和等于零，则下列选项正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer

先求出函数的导数，因为曲线过原点，所以c=0，因为在x=±1处的切线斜率均为-1，所以函数在x=±1处的导数等于-1，再利用导数等于0求极值点，以及函数的最大值与最小值，逐一判断三个命题即可．
【解析】
∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，∴c=0
对函数f（x）求导，得，f′（x）=3x2+2ax+b，
∵在x=±1处的切线斜率均为-1，∴f′（1）=1，f′（-1）=1，
即，3+2a+b=-1，3-2a+b=-1
解得a=0，b=-4
∴（x）=x3-4x，x∈[-2，2]，①正确．
f′（x）=3x2-4，令f′（x）=0，得，x=，∴f（x）的极值点有两个，②错误
f（-2）=0，f（-）=，f（）=-，f（2）=0
∴f（x）的最大值为，最小值为-，最大值与最小值之和等于零．③正确．
故选B