Question

已知函数f （x）=2x³-3（2+a²）x²+6（1+a²）x+1（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f （x）在R上单调，求a的值；
（Ⅱ）若函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是5，求a的取值范围．

Answer

（I）先求函数的导数，再由函数f （x）在R上单调知其导数恒为非负值，从而方程（x-1）（x-1-a2）=0的根相等，即可求得a的值；
（II）由（I）知函数f （x）在区间[0，1]上是增函数，在区间[1，1+a2]上是减函数，在区间[1+a2，2]上是增函数，故函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是f（1），f（2）中的较大者，从而得到一个不等式求得a的取值范围即可．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=6x2-6（2+a2）x+6（1+a2）
=6（x-1）（x-1-a2），
因为函数f（x）在R上单调，
所以1=1+a2，
即a=0．（6分）
（Ⅱ）因为1≤1+a2，
所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a2+3，5}max=5，
即3a2+3≤5，
解此不等式，得
-≤a≤，
所以a的取值范围是-≤a≤．（15分）