Question

已知在三棱锥S-ABC中，底面是边长为4的正三角形，侧面SAC⊥底面ABC，M，N分别是AB，SB的中点，SA=SC=：
（1）求证AC⊥SB
（2）求二面角N-CM-B的大小
（3）求点B到面CMN的距离．

Answer

（1）由题意取AC中点D，连接SD、DB．则可证AC⊥平面SDB，从而AC⊥SB；
（2）过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连接NF，则NF⊥CM．从而∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．在Rt△NEF中，利用正切函数，可求二面角N-CM-B的大小；
（3）设点B到平面CMN的距离为h，根据VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，可求点B到平面CMN的距离．
【解析】
（1）取AC中点D，连接SD、DB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∵SD∩BD=D
∴AC⊥平面SDB，
又SB⊂平面SDB，
∴AC⊥SB．
（2）∵AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC．
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连接NF，
则NF⊥CM．
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC．
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．
∵SN=NB，∴NE=SD==，且ED=EB．
在正△ABC中，由平几知识可求得EF=，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=，
∴二面角N-CM-B的大小是arctan．
（3）在Rt△NEF中，NF=，
∴S△CMN=CM•NF=，S△CMB=BM•CM=2．
设点B到平面CMN的距离为h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，
∴S△CMN•h=S△CMB•NE，
∴h=．即点B到平面CMN的距离为．