Question

在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是 （ ）
A．等腰三角形
B．正三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

Answer

由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知的等式中，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到sin（A-B）=0，由A和B都为三角形的内角，得到A-B的范围，利用特殊角的三角函数值得到A-B=0，即A=B，从而得到三角形必是等腰三角形．
【解析】
由A+B+C=π，得到C=π-（A+B），
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），又sinC=2cosAsinB，
∴sin（A+B）=2cosAsinB，
即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，
整理得sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
又A和B都为三角形的内角，∴-π＜A-B＜π，
∴A-B=0，即A=B，
则此三角形必是等腰三角形．
故选A