Question

已知点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过D（2，0）的直线l与轨迹C有两个不同的交点时，求l的斜率的取值范围；
（3）若过D（2，0），且斜率为的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的E、F（E在D、F之间），求△ODE与△ODF的面积之比．

Answer

（1）设点M的坐标为（x，y），由，知．由此能求出动点M的轨迹方程．
（2）设l的方程为y=k（x-2）（k），代入，得（2k2+1）x2-8k2-x+（8k2-2）=0，由此能求出l的斜率的取值范围．
（3）设E（x1，y1），F（x2，y2），由，得8x2-14x+5=0，由此能求出△ODE与△ODF的面积之比．
【解析】
（1）设点M的坐标为（x，y），
∵，
∴．
整理，得（x≠0），
这就是动点M的轨迹方程．（4分）
（2）由题意知直线l的斜率存在，
设l的方程为y=k（x-2）（k） ①
将①代入，
得（2k2+1）x2-8k2-x+（8k2-2）=0（*）
由△＞0，解得．（8分）
（3）设E（x1，y1），F（x2，y2），
由，
消x得：8x2-14x+5=0，
∴，，
令，
∴=1：2 （13分）