Question

过点（0，3）作直线l，若l与曲线x²-y²=4只有一个公共点，这样的直线l共有（ ）
A．一条
B．二条
C．三条
D．四条

Answer

先设出直线l的方程，代入双曲线方程，消y，得到关于x的方程，若为一元一次方程，则直线l与双曲线相交有一个交点，若为一元二次方程，判别式△等于0，则直线与双曲线相切，有一个切点，求出满足这两种情况的k值，即可得到可能的直线条数．
【解析】
∵点（0，3）在y轴上，∴直线l斜率存在．
设直线l的方程为y=kx+3，代入曲线x2-y2=4中，得，
（1-k2）x2-6kx-13=0，
当1-k2=0，即k=1或-1时，直线l与曲线x2-y2=4相交，有一个交点
当1-k2≠0，△=（6k）2+4×13（1-k2）=0，即k=±时，直线l与曲线x2-y2=4相切，有一个公共点．
∴曲线x2-y2=4只有一个公共点的直线l共有4条
故选D