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高中数学试题
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已知实数a≠0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R). (1)若函数f(x)...
已知实数a≠0,函数f(x)=ax(x-2)
2
(x∈R).
(1)若函数f(x)有极大值32,求实数a的值;
(2)若对∀x∈[-2,1],不等式
恒成立,求实数a的取值范围.
(1)求出f(x)的导函数,令导函数等于0求出此时x的值,因为函数有极大值32,把求得的x值代入函数解析式f(x)中求出函数值,让函数值等于32列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值; (2)根据(1)求出的导函数等于0时x的值,分a大于0和a小于0,在闭区间[-2,1]上,分区间判断导函数的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性分别得到函数f(x)的最大值,让f(x)的最大值小于分别列出关于a的不等式,分别求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围,求出的a的范围的并集即可得到所有满足题意的a的范围. 【解析】 (1)∵f(x)=ax(x-2)2=ax3-4ax2+4ax, ∴. 令f′(x)=0,解得, ∴或x=2. ∵f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32,又f(2)=0. ∴f(x)在时取得极大值, ∴. (2)由知: 当a>0时,函数f(x)在上是增函数,在上是减函数. 此时,. 又对∀x∈[-2,1],不等式恒成立. ∴得, ∴. 当a<0时,函数f(x)在上是减函数,在上是增函数. 又f(-2)=-32a,f(1)=a, 此时,ymax=f(-2)=-32a. 又对∀x∈[-2,1],不等式恒成立. ∴得, ∴. 故所求实数的取值范围是.
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考点分析:
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