Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M（-1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点．
（1）若直线l的斜率为1，且，求椭圆的标准方程；
（2）若（1）中椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为α，问α为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．

Answer

（1）因为椭圆的离心率为，所以=，所以可找到a，b之间的关系，设出椭圆方程，再因为过点M（-1，0），斜率为1的直线l方程为y=x+1，代入椭圆方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，求出两根之和与两根之积，再根据找P，Q纵坐标关系，化简，即可求出椭圆中a，b的值，进而求出椭圆方程．
（2）先设出直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，利用根与系数关系，求出P，Q纵点坐标之和与之积，计算，用P，Q纵点坐标表示，转化为纵点坐标之和与之积，再用前面求出的带斜率k的式子表示，再用求最值的方法求出k为何值时，有最大值．
【解析】
（1）e=，故椭圆方程为x2+4y2=4b2，
设P（x1，y1）、Q（x2，y2），由，
由=0，∴y1+y2=，
由此得b2=1，a2=4，椭圆方程为=1；
（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆方程得：x2+4k2（x+1）2=4⇒（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0⇒，所以=（1+k2）x1x2+（k2-2）（x1+x2）+4+k2=，
当直线l的斜率不存在即α=90°时，，
因此当α=90°时，取得最大值，最大值为