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已知点F(a,0)(a>0),直线l:x=-a,点E是l上的动点,过点E垂直于y...

已知点F(a,0)(a>0),直线l:x=-a,点E是l上的动点,过点E垂直于y轴的直线与线段EF的垂直平分线交于点P.
(1)求点P的轨迹M的方程;
(2)若曲线M上在x轴上方的一点A的横坐标为a,过点A作两条倾斜角互补的直线,与曲线M的另一个交点分别为B、C,求证:直线BC的斜率为定值.
(1)由垂直平分线的性质可得|PF|=|PE|,从而有点P的轨迹是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线.根据抛物线的定义可求 (2)直线AB的斜率为k(k≠0),点B(x1,y1),C(x2,y2),A(a,2a).则直线AB的方程为y-2a=k(x-a).消去x,得ky2-4ay+4a2(2-k)=0.由y1,2a是方程的两个根,可求,同理可得,代入斜率公式可求 【解析】 (1)连接PF.∵点P在线段EF的垂直平分线上, ∴|PF|=|PE|.∴点P的轨迹是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线. ∴p=2a.∴点P的轨迹为M:y2=4ax(a>0). (2)直线AB的斜率为k(k≠0),点B(x1,y1),C(x2,y2),A(a,2a). 则直线AB的方程为y-2a=k(x-a).消去x,得ky2-4ay+4a2(2-k)=0. △=16a2(k-1)2≥0 ∵y1,2a是方程的两个根, ∴.,∴. 依题意,直线AC的斜率为-k. 同理可得. ∴. ∴ 所以直线BC的斜率为定值.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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