Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平 面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．
（1）求证：GC⊥平面PEF；
（2）求证：PA∥平面EFG；
（3）求三棱锥P-EFG的体积．

Answer

（1）：因为PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，所以GC⊥PD．因为GC⊥CD且PD∩CD=D所以GC⊥平面PCD．
（2）因为EF∥CD且EF∥GH所以E，F，H，G四点共面．又因为F，H分别为DP，DA的中点所以PA∥FH因为PA⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，所以PA∥平面EFG．
（3）先求出底面的面积，由题意得所以三棱锥的体积为．
（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，
∴GC⊥PD．
∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，
∴GC⊥平面PCD．
（2）证明：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，
∵E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD．
∵G，H分别为BC，AD的中点，
∴GH∥CD．
∴EF∥GH．
∴E，F，H，G四点共面．
∵F，H分别为DP，DA的中点，
∴PA∥FH．
∵PA⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，
∴PA∥平面EFG．
（3）【解析】
∵，，
∴．
∵，
∴．