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设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R. (1)若f(...

设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.
(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.
(1)求出f′(x),由x=3取得极值得到f'(3)=0,求解得到a的值即可; (2)因为函数在(-∞,0)上为增函数令f'(x)=0得到函数的驻点,由a的取值范围研究函数的增减性得到函数为增函数时a的范围即可. 【解析】 (1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1). 因f(x)在x=3取得极值,所以f'(3)=6(3-a)(3-1)=0.解得a=3. 经检验知当a=3时,x=3为f(x)为极值点. (2)令f'(x)=6(x-a)(x-1)=0得x1=a,x2=1. 当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增 函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数. 当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函 数,从而f(x)在(-∞,0]上也为增函数. 综上所述,当a∈[0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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