Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=AD．
（Ⅰ）求异面直线BF与DE所成角的余弦值；
（Ⅱ）在线段CE上是否存在点M，使得直线AM与平面CDE所成角的正弦值为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

建立如图的空间坐标系，给出相应点的坐标，
（Ⅰ）求出异面直线BF与DE的方向向量，利用数量积公式的变形形式求两向量的夹角即可．
（Ⅱ）假设在线段CE上存在点M，使得直线AM与平面CDE所成角的正弦值为，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用公式建立方程，若能求出符合条件的参数的值则说明存在，否则说明不存在．
【解析】
建立如图所示的直角坐标系，不妨设AB=1
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），
F（0，0，1），E（0，1，1）
（Ⅰ）
∴异面直线BF与DE所成角的余弦值为．
（Ⅱ）设平面CDE的一个法向量为

∵
∴
令y=1，得x=z=2，∴
设存在点M（p，q，r）满足条件，由得
p=1-λ，q=1，r=λ即M（1-λ，1，λ）
∴=（1-λ，1，λ）
∵直线AM与平面CDE所成角的正弦值为
∴|cos＜＞|=，=，得λ
故当点M为CE中点时，直线AM与平面CDE所成角的正弦值为