Question

设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，F₁F₂=8，P是椭圆上的点，PF₁+PF₂=10，且PF₁⊥PF₂，则点P的个数是    ．

Answer

设PF1=x1，PF2=x2，则可知x1+x2的值，根据勾股定理知x12+x22=F1F22，进而求得x1x2的值．根据韦达定理可知x1，x2是函数x2-10x+18=0的根，通过△判定方程有2不同根，故知P至少有2个，又根据椭圆的对称可知点P的个数应为4．
【解析】
设PF1=x1，PF2=x2，则x1+x2=10，
∵PF1⊥PF2，
∴x12+x22=64
∴x1x2=[（x1+x2）2-x12+x22]=18，
依题意x1，x2，是函数x2-10x+18=0，
△=100-72=28＞0故方程有两个不同根．
又根据椭圆的对称性可知点p的个数为4．
故答案为：4．