Question

已知函数f（x）的图象过点（0，1），且与函数的图象关于直线y=x-1成轴对称图形．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）若三个正数m、n、t依次成等比数列，证明f（m）+f（t）≥2f（n）．

Answer

（1）利用轴对称来解，先在y=f（x）的图象上取点P（x，y），设P点关于直线y=x-1对称的点为Q（m，n），根据一垂直二平分，表示出m，n再代入f（x）即可．
（2）由三个正数m、n、t依次成等比数列得到n2=mt≥=（n+1）2，再将f（m）+f（t）≥2f（n）．通过函数值转化证明．
（1）【解析】
在y=f（x）的图象上取点P（x，y），
设P点关于直线y=x-1对称的点为Q（m，n），
则⇒
∵Q在y=g（x）的图象上，
∴⇒y=2log2（x+a）+1．
∵y=f（x）的图象过点（0，1），
∴1=2log2a+1⇒a=1．
故f（x）=2log2（x+1）+1，定义域为（-1，+∞）．
（2）证明：∵n2=mt⇒（m+1）（t+1）
=mt+m+t+1
≥
=（n+1）2，
∴f（m）+f（t）
=2log2（m+1）+1+2log2（t+1）+1
=2log2（m+1）（t+1）+2
≥2log2（n+1）2+2
=2[2log2（n+1）+1=2f（n）．