Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R．
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）若-≤a≤，求f（x）的最小值．

Answer

（1）由于函数解析式为f（x）=x2+|x-a|+1，a∈R，所以利用解析式及判断函数的奇偶性的方法，对a进行分类讨论即可；
（2）由于-≤a≤，求f（x）的最小值，且解析式含有绝对值，所以利用对a的讨论把解析式具体化，之后利用二次函数性质求出定义域下的值域即可．
【解析】
（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x）2+|-x|+1=f（x），
此时，f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（a）=a2+1，f（-a）=a2+2|a|+1，
f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），此时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）当x≤a时，
f（x）=
∵，故函数f（x）在（-∞，a]上单调递减．
从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1
当x≥a时，函数，
∵
故函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）
=a2+1．
综上得，当-≤a≤时，函数f（x）的最小值为a2+1．