设函数f（x）=log2（ax2+2x）在[2，4]上为单调递增函数，求a的取值...

设函数f（x）=log₂（ax²+2x）在[2，4]上为单调递增函数，求a的取值范围．

函数f（x）=log2（ax2+2x）在[2，4]上为单调递增函数，由于外层函数是增函数，所以内层函数t=ax2+2x在[2，4]上为单调递增函数，内层函数的对称轴为x=-，讨论对称轴与区间[2，4]的位置关系若a＞0则对称轴在区间左侧，成立，若a＜0，则对称轴在区间右侧，此时有4≤-，利用二次函数的单调性进行转化时也要考虑真数为正这一条件．【解析】 ∵函数f（x）=log2（ax2+2x）在[2，4]上为单调递增函数， ∴内层函数t=ax2+2x在[2，4]上为单调递增函数，内层函数的对称轴为x=-，当a＞0则对称轴在区间左侧，t=ax2+2x在[2，4]上为单调递增函数，又其处在真数位置上故有t=4a+4＞0，得a＞-1，故a＞0满足题意．当a＜0时，当且仅当对称轴在区间右侧时，内层函数是增函数，此时有解得a≥-，故有-≤a＜0 当a=0时，数f（x）=log22x在[2，4]上为单调递增函数，故a=0符合题意综上a的取值范围是[-，+∞）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等