Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）当E为BC中点时，求异面直线PC与DE所成角的余弦值；
（Ⅲ）求证：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

Answer

于（Ⅰ）由于F是PB的中点，E为BC的中点，从而EF为三角形PBC的中位线，故EF∥PC，由线面平行的判定定理可以得到EF∥平面PAC；
对于（Ⅱ）由于本题出现了三个两两垂直的直线AD、AP、AB，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，1），，，．可以求得向量PC、DE的坐标，用向量的夹角公式计算即可；
对于（Ⅲ）在解决（Ⅱ）的基础上，继续计算向量PE、AF的坐标，求其内积判断即可．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC．
又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，
∴EF∥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）【解析】
以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，1），，，．
则
所以，当E为BC中点时，异面直线PC与DE所成角的余弦值为．（9分）
（Ⅲ）证明：依据（Ⅱ）所建立坐标系，
则P（0，0，1），B（0，1，0），，．
设BE=x，则E（x，1，0），••，
∴．∴PE⊥AF．
所以，无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．（14分）