Question

如图所示，已知椭圆C：=1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦点，点A为其上顶点，过F的直线l：y=mx-c试用a表示m²；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（，），求m的取值范围．

Answer

（1）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可得出结论；
（2）利用（1）的结论，可得a2≥3c2，从而可得e的最大值；
（3）若e∈（，），可得，从而可求m的取值范围．
【解析】
（1）直线方程与椭圆方程联立，可得（a2+m2）x2-2mcx-1=0
设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=
∴y1+y2=m（x1+x2）-2c=，y1y2=
∵A（0，a），∴=（x1，y1-a），=（x2，y2-a）
∴=x1x2+（y1-a）（y2-a）=
∴a2+m2=2-c2=2-（a2-1）
∴m2=3-2a2；
（2）由（1）知，m2=3-2a2≥0
∴3（a2-c2）-2a2≥0
∴a2≥3c2
∴
∴e的最大值为；
（3）∵e∈（，），
∴
∴
∴
∴
∴m的取值范围为．