Question

已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线m≤φ（x）_min的斜率为，那么，x∈（1，e）是定值吗？证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）由l与圆相切，知m2=1+k2，由，得（1-k2）x2-2mkx-（m2+1）=0，故k的取值范围为（-1，1）．由此能求出x2-x1取最小值．
（Ⅱ）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0），所以==，由此能求出为定值．
【解析】
（Ⅰ）∵l与圆相切，
∴，
∴m2=1+k2①
由，
得（1-k2）x2-2mkx-（m2+1）=0，
∴，
∴k2＜1，
∴-1＜k＜1，
故k的取值范围为（-1，1）．
由于，
∵0≤k2＜1
∴当k2=0时，x2-x1取最小值．（6分）
（Ⅱ）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0），
∴，
∴
=
=
=
=
=，
由①，得m2-k2=1，
∴为定值．（12分）