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高中数学试题
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已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3•a4=117，a2+...
已知公差大于零的等差数列a
n
的前n项和为S
n
，且满足：a
3
•a
4
=117，a
2
+a
5
=22．
（1）求数列a
n
的通项公式a
n
；
（2）若数列b
n
是等差数列，且
，求非零常数c；
（3）若（2）中的b
n
的前n项和为T
n
，求证：
．
（1）利用等差数列的性质可得，联立方程可得a3，a4，代入等差数列的通项公式可求an （2）代入等差数列的前n和公式可求sn，进一步可得bn，然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3，从而可求c （3）要证原不等式A＞B⇔A＞M，B＜M，分别利用二次函数及均值不等式可证．℃ 【解析】 （1）an为等差数列，a3•a4=117，a2+a5=22 又a2+a5=a3+a4=22 ∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根，d＞0 ∴a3=9，a4=13 ∴ ∴d=4，a1=1 ∴an=1+（n-1）×4=4n-3 （2）由（1）知， ∵ ∴，，， ∵bn是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0， ∴（c=0舍去）， （3）由（2）得， 2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4≥4， 但由于n=1时取等号，从而等号取不到2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4＞4， ∴， n=3时取等号（15分） （1）、（2）式中等号不能同时取到，所以．
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考点分析：
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如图，已知椭圆
的焦点和上顶点分别为F
1
、F
2
、B，我们称△F
1
BF
2
为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆
和
判断C
2
与C
1
是否相似，如果相似则求出C
2
与C
1
的相似比，若不相似请说明理由；
（2）写出与椭圆C
1
相似且半短轴长为b的椭圆C
b
的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆C
b
上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．
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（1）在长度为a的线段AB上任意作一点C，求|CB|≤|CA|的概率；
（2）若将长度为a的线段截成三段，则三段长能围成一个三角形的概率有多大．
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已知z
1
=3i，z
2
=3，z
3
=sinα+icosα，α∈[0，2π），z
1
，z
2
，z
3
在平面上对应的点为A，B，C．
（1）若|AC|=|BC|，求α的值；
（2）若
，求
的值．
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已知二次函数f（x）=ax
2
+x，若对任意x
1
、x
2
∈R，恒有2f（
）≤f（x
1
）+f（x
2
）成立，不等式f（x）＜0的解集为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B={x||x+4|＜α}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．
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如图，在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，四边形A
1
ABB
1
为菱形，∠A
1
AB=60°，四边形BCC
1
B
1
为矩形，若AB⊥BC且AB=4，BC=3
（1）求证：平面A
1
CB⊥平面ACB
1
；
（2）求三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的体积．
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试题属性
题型：解答题
难度：中等
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，求非零常数c；
．
的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
和
判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；
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）≤f（x1）+f（x2）成立，不等式f（x）＜0的解集为A．
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，求
的值．