Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，若右准线上存在P点使得线段PF₁的垂直平分线恰好过F₂，则该椭圆的离心率的取值范围是    ．

Answer

设点P（ ，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K的坐标，根据 线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于-1，求出 m2 的解析式，再利用 m2≥0，得到3e4+2e2-1≥0，求得 e 的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e 的范围．
【解析】
由题意得  F1（-c，0）），F2 （c，0），设点P（ ，m），则由中点公式可得线段PF1的中点
K（ ， ），∴线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于-1，∴•=-1，
∴m2=-（ +c）•（ ）≥0，∴a4-2a2c2-3 c4≤0，
∴3e4+2e2-1≥0，∴e2≥，或 e2≤-1（舍去），∴e≥．
又椭圆的离心力率  0＜e＜1，故   ≤e＜1，
故答案为[，1）．