Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+1，（a∈R）
（1）若在f（x）的图象上横坐标为的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；
（2）若f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a取值范围；
（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象与函数f（x）的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先求出函数的导数，再由f′（）=0求解a．
（2）将“f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点”转化为“方程f′（x）=0在区间（-2，3）内有两个不同的实根”，用△＞0求解．
（3）在（1）的条件下，a=1，“要使函数f（x）与g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的图象恰有三个交点”即为“方程x2（x2-4x+1m）=0恰有三个不同的实根”．因为x=0是一个根，所以方程x2-4x+1-m=0应有两个非零的不等实根，再用判别式求解．
【解析】
（1）依题意，f′（）=0
∵f′（x）=-3x2+2ax
-3（）2+2•a•=0，
∴a=1（3分）
（2）若f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，
则方程f′（x）=0在区间（-2，3）内有两个不同的实根，
∴△＞0，f′（-2）＜0，f′（3）＜0，-2＜＜3，
解得-3＜a＜且a≠0
但a=0时，f（x）=-x3+1无极值点，
∴a的取值范围为（-3，0）∪（0，）（8分）
（3）在（1）的条件下，a=1，
要使函数f（x）与g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的图象恰有三个交点，
等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+（2-m）x2+1，
即方程x2（x2-4x+1-m）=0恰有三个不同的实根．
∵x=0是一个根，
∴应使方程x2-4x+1-m=0有两个非零的不等实根，
由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，解得m＞-3，m≠1（12分）
∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），
使用函数f（x）与g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的图象恰有三个交点（13分）