Question

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（ I）求第4局甲当裁判的概率；
（ II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．

Answer

（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．
（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．
【解析】
（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B1B2A3）=P（B1）P（B2）P（A3）=．
P（X=2）=P（B2）=P（）P（B2）=．
P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=．
从而EX=0×+1×+2×=．