Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a≠0），（其中p为非零常数，n∈N^*）．
（1）判断数列是不是等比数列？
（2）求a_n；
（3）当a=1时，令，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S_n．

Answer

（1）由an+2=p•可求得=p•，利用等比数列的定义即可判断数列是否为等比数列；
（2）利用累乘法an=•…•a1=（apn-2）×（apn-3）×…×（ap）×1即可求得an；
（3）当a=1时，bn==np2n-1，利用错位相减法与分类讨论思想即可求得数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）由an+2=p•得=p• …（1分）
令cn=，则c1=a，cn+1=pcn．
∵a≠0，
∴c1≠0，故=p（非零常数），
∴数列是等比数列，…（3分）
（2）∵数列{cn}是首项为a，公比为p的等比数列，
∴cn=c1•pn-1=a•pn-1，
即=apn-1．          …（4分）
当n≥2时，an=•…•a1=（apn-2）×（apn-3）×…×（ap）×1=an-1，…（6分）
∵a1满足上式，
∴an=an-1，n∈N*．        …（7分）
（3）∵=•=（apn）×（a•pn-1）=a2p2n-1，
∴当a=1时，bn==np2n-1．    …（8分）
∴Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n-1，①
p2Sn=1×p3+…+（n-1）p2n-1+n×p2n+1②
∴当p2≠1，即p≠±1时，①-②得：（1-p2）Sn=p1+p3+…+p2n-1-np2n+1，
∴Sn=-，p≠±1．             …（11分）
而当p=1时，Sn=1+2+…+n=，…（12分）
当p=-1时，Sn=（-1）+（-2）+…+（-n）=-．…（13分）
综上所述，Sn=…（14分）