Question

已知二阶矩阵A=，矩阵A属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为α₁=．
（1）求矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量；
（2）若向量m=，求A⁴m．

Answer

（1）由题意知：A1=λ1（1为特征向量，λ为特征值），利用矩阵的乘法法则化简求出a与c的值，代入矩阵A即可得A，再根据矩阵A的特征多项式解出矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量；
（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值，然后根据特征向量线性表示出向量，利用矩阵的乘法法则求出=-10α1+3α2②，代入A4中求出值即可．
【解析】
（1）由题知：=-，即a-3=-1，c-1=1，解得a=2，b=2，
所以A=；
矩阵A的特征多项式为f（λ）==λ2-3λ-4=0，
得λ1=-1，λ2=4，
当λ1=-1时，α1=，
当λ2=4时，将λ2=4代入特征方程组，得⇒2x+3y=0．
可取α2=为属于特征值λ2=4的一个特征向量．（8分）
（2）由=pα1+qα2=p+q=，
得：解得 ，则=-10α1+3α2
∴A4=A4（-10α1+3α2）=-10（A4α1）+3A4α2
=-10（ α1）+3α2=-10×1×+3×256×=．