Question

设x₁，x₂是f（x）=的两个极值点，f（x）的导函数是y=f′（x）
（Ⅰ）如果x₁＜2＜x₂＜4，求证：f′（-2）＞3；
（Ⅱ）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围；
（Ⅲ）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=f′（x）+2（x-x₂）的最小值为h（a），求h（a）的最大值．

Answer

（Ⅰ）对f（x）进行求导，可知x1，x2 是方程f′（x）=0的两个根，根据其单调区间可以得出f′（2）＜0，f′（4）＞0，推出4a-2b＞0，整体法代入f′（-2）进行证明；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）可根据韦达定理求出x1+x2和x1x2，根据已知|x2-x1|可以用x1+x2和x1x2，表示出来，从而求出b的范围；
（Ⅲ）根据f′（x）=0的两个根是x1，x2，可设f′（x）=a（x-x1）（x-x2），再利用不等式进行放缩和利用导数进行求解；
【解析】
（I）证明：f′（x）=ax2+（b-1）x+1，x1，x2 是方程f′（x）=0的两个根，
f（x）在（x2，+∞）上单调增，其导函数大于0，f（x）在（x1，x2）上单调递减，其导函数小于0，
由x1＜2＜x2＜4且a＞0
得可得        （2分）
①×（-3）+②得4a-2b＞0，
∴f′（-2）=4a-2（b-1）+1=4a-2b+3＞3；
（Ⅱ）【解析】
由第（1）问知由x1x2≠0，两式相除得
-（b-1）==+ 即b=--+1     （4分）
①当0＜x1＜2时，由x1x2=＞0，
∴x2-x1=2 即x2=x1+2
∴b=--+1，x1∈（0，2）（5分）
令函数φ（x）=--+1（x＞0），则φ′（x）=+，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴当x1∈（0，2）时，b=φ（x1）＜φ（2）=--+1=，即b＜  （7分）
②当-2＜x1＜0时，x2＜0，∴x1-x2=2 即x2=x1-2
∴b=-+1，x1∈（-2，0）
令函数ω（x）=--+1（x＜0）则同理可证ω（x）在（-∞，0）上是增函数
∴当x1∈（-2，0）时，b=ω（x1）＞ω（-2）=，
综①②所述，b的取值范围是（-∞，）∪（，+∞）；
（Ⅲ）【解析】
f′（x）=0的两个根是x1，x2，
∴可设f′（x）=a（x-x1）（x-x2）
∴g（x）=a（x-x1）（x-x2）+2（x-x2）=a（x-x2）（x-x1+） （10分）
又x∈（x1，x2） 又a≥2，
∴x-x1+＞0
∴|g（x）|=|a（x-x2）（x-x1+）|=a（x2-x）（x-x1+）
≤a=a（1+）2=a（1+）2=a++2，g（x）≥-（a++2）
当且仅当x2-x1=x-x1+即x=即x=时取等号
∴h（a）=-（a++2），（a≥2）
当a≥2时，h′（a）=-（1-）＜0
∴h（a）在（2，+∞）上是减函数． 
∴h（a）=h（2）=-；