Question

数列{x_n}满足x₁=0，x_n+1=-x²_n+x_n+c（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：{x_n}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范围，使{x_n}是递增数列．

Answer

（Ⅰ）通过证明必要条件与充分条件，推出{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通过①当c=0时，②当c＞0时，推出0＜c＜1，当c时，证明xn+1＞xn．=⇔．当c时，说明数列{xn}是从递减数列矛盾．得到0＜c时，数列{xn}是递增数列．
当c＜0时，xn+1=-x2n+xn+c＜xn，
∴{xn}是单调递减数列
充分条件
当{xn}是单调递减数列时
x1=0＞x2=-x21+x1+c
∴c＜0
综上{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0
①当c=0时，xn=x1=0，此时数列为常数列，不符合题意；
②当c＞0时，x2=c＞x1=0，x3=-c2+2c＞x2=c
∴0＜c＜1
⇔
⇔0=x1≤xn＜，=-（xn+1-xn）（xn+1+xn-1），
当c时，⇒xn-xn+1+1＞0⇔xn+2-xn+1-1＜0，⇔xn+2-xn+1与xn+1-xn同号，
由x2-x1=c＞0⇒xn+1-xn＞0⇔xn+1＞xn．
=⇔．
当c时，存在N使xN⇒xN+xN+1＞1⇒xN+2-xN+1与xN+1-xN异号，
与数列{xn}是从递减数列矛盾．
所以当0＜c时，数列{xn}是递增数列．