Question

如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

Answer

（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A-BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；
（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角
【解析】
（1）设BD=x，则CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴VA-BCD=×AD×S△BCD=×（3-x）××x（3-x）=（x3-6x2+9x）
设f（x）=（x3-6x2+9x）  x∈（0，3），
∵f′（x）=（x-1）（x-3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大；
（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D-xyz，
由（1）知，三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（，1，0），且=（-1，1，1）
设N（0，λ，0），则=（-，λ-1，0）
∵EN⊥BM，∴•=0
即（-1，1，1）•（-，λ-1，0）=+λ-1=0，∴λ=，∴N（0，，0）
∴当DN=时，EN⊥BM
设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），由及=（-1，，0）
得，取=（1，2，-1）
设EN与平面BMN所成角为θ，则=（-，-，0）
sinθ=|cos＜，＞|=||==
∴θ=60°
∴EN与平面BMN所成角的大小为60°