Question

设函数的极值点．
（I）若函数f（x）在x=2的切线平行于3x-4y+4=0，求函数f（x）的解析式；
（II）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x-4y+4=0，可得f′（1）=0，f′（2）=，从而可求函数f（x）的解析式；
（II）（x＞0），分类讨论：①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0；②若0＜c＜1，则f极大（x）=clnc，f极小（x）=；③若c≥1，则f极小（x）=clnc，f极大（x）=，由此可确定实数c的取值范围．
【解析】
（I）求导函数，可得
∵x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x-4y+4=0，
∴f′（1）=0，f′（2）=
∴
∴b=-，c=
∴函数f（x）的解析式为；
（II）（x＞0）
①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即
∴
②若0＜c＜1，则f极大（x）=f（c）=clnc+，f极小（x）=f（1）=
∵b=-1-c，∴f极大（x）=clnc，f极小（x）=
∴f（x）=0不可能有两解
③若c≥1，则f极小（x）=clnc，f极大（x）=，∴f（x）=0只有一解
综上可知，实数c的取值范围为．