Question

已知函数f（x）的导数f′（x）=2x-9，且f（0）的值为整数，当x∈（n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）的值为整数的个数有且只有1个，则n=（ ）
A．2
B．6
C．8
D．4

Answer

因为f'（x）=2x-9，所以可设f（x）=x2-9x+k，则f（0）=k为整数，由于n为正整数，可得f（n+1）及f（n）均为整数，函数的对称轴为x=4.5，利用函数的最大值与最小值的差，可得结论．
【解析】
因为f'（x）=2x-9，所以可设f（x）=x2-9x+k，则
f（0）=k，依题意知k为整数，又n为正整数，所以f（n+1）及f（n）均为整数．
f（x）=x2-9x+k=（x-4.5）2-4.52+k，是二次函数，开口向上，对称轴为x=4.5
当x∈（4，5]时，f（x）max-f（x）min=f（5）-f（4.5）=0.25，又f（5）=-20+k∈Z，故只有1个整数f（5）．
即当x∈（4，5]时，f（x）的值为整数的个数有且只有1个
故选D