Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，已知，．
（1）求cosC的值；
（2）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．

Answer

（1）由cosB及B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由A的度数，根据三角形得到内角和定理得到C=-B，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简cos（-B），将sinB和cosB的值代入求出cos（-B）的值，即为cosC的值；
（2）由第一问求出的cosC的值，及C为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，由BC，sinA和sinC的值，利用正弦定理求出AB的长，在三角形BCD中，由D为AB的中点，求出BD的长，再由BC的长，以及cosB的值，利用余弦定理即可求出CD的长．
【解析】
（1）∵，且B∈（0，π），
∴，
∴
==；

（2）由（1）可得，
由正弦定理得，又BC=10，sinA=，sinC=，
∴，
解得：AB=14，
在△BCD中，BD=AB=7，BC=10，cosB=，
由余弦定理得：，
∴．