Question

己知点F为抛物线C：y²=x的焦点，斜率为1的直线l交抛物线于不同两点P，Q．以F为圆心，以FP，FQ为半径作圆，分别交x轴负半轴于M，N，直线PM，QN交于点T．
（I）判断直线PM与抛物线C的位置关系，并说明理由；
（II）连接FT，FQ，FP，记S₁=S_△PFT，S₂=S_△QFT，S₃=S_△PQT设直线l在y轴上的截距为m，当m何值时，取得最小值，并求出取到最小值时直线l的方程．

Answer

（I）设出P，Q的坐标，求出直线PM的方程，代入抛物线方程，利用判别式可得结论；
（II）将直线PQ：y=x+m代入y2=x可得y2-y+m=0，计算点F到直线PT的距离，点Q到直线PT的距离，从而可得=，同理没劲儿可得，令t=，则，利用导数法，即可求出的最小值，从而可得取到最小值时直线l的方程．
【解析】
（I）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意及抛物线的定义知：M（-x1，0），N（-x2，0），
∴
∴直线PM：y-y1=，即
代入y2=x可得
∵
∴直线PM与抛物线C相切；
（II）直线PQ：y=x+m代入y2=x可得y2-y+m=0
∴y1+y2=1，y1y2=m
点F到直线PT的距离；点Q到直线PT的距离
∴=，同理
又直线PM与QN的交点T，∴
∴
∴
令t=，∴
∵
∴f（t）在上单调递减，在上单调递增
∴，此时，即直线l的方程为
综上可知，的最小值为，取到最小值时直线l的方程为．