Question

．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）当λ=时，数列{a_n}中是否存在三项成等差数列，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意 1+a1+a2+…+an-λan+1=0，则1+a1+a2+…+an+an+1-λan+2=0，故（1+λ）an+1-λan+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N*，所以，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，知，假设存在任意三项am，ak，ap成等差数列．由此入手能够导出数列{an}存在a1，a2，a3或a3，a2，a1成等差数列．
【解析】
（1）由题意 1+a1+a2+…+an-λan+1=0①
1+a1+a2+…+an+an+1-λan+2=0②
由②-①得（1+λ）an+1-λan+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N*，
∴，
故数列{an}从第二项开始为等比数列…（3分）
将n=1代入①式，
∴n≥2时，
∴数列{an}的通项…（6分）
（2）∵，
∴
∵假设存在任意三项am，ak，ap成等差数列
①不妨设当m＞k＞p≥2，
∵当n≥2时，数列{an}单调递增，
∴2ak=am+ap，
∴，
∴2•4k-p=4m-p+1，
由上式知：左边=偶数≠右边=奇数，
∴当n≥2时，数列{an}不存在三项成等差数列．…（9分）
②假设存在成等差数列的三项中包含a1时
不妨设m=1，k＞p≥2且ak＞ap，
∵当n≥2时，an＞a1，
∴2ap=a1+ak，
∴，
∴2•4p-2=-2+4k-2，
∴2（2p-3）=22（k-2）-2，
∵k＞p≥2，
∴当且仅当k=3，p=2时成立，
∴数列{an}存在a1，a2，a3或a3，a2，a1成等差数列．…（12分）