Question

已知椭圆（a＞b＞0）与抛物线y²=4x有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足．
（I）求椭圆的方程；
（II）过点P（0，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，满足，求直线l的方程．

Answer

（I）由题意焦点F（1，0），由，且点M在抛物线上可求代入可求M的纵坐标，，然后由M在椭圆，及已知c，可求a，b，进而可求椭圆的方程
（II）①当直线l的斜率不存在时，l的方程x=0，容易检验直线l的方程不存在
②当斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线于椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求x1x2，代入=可求k
【解析】
（I）由题意可知抛物线y2=4x的焦点F（1，0）
∵，且点M在抛物线上
∴（2分）
∴
∵M在椭圆
∴（3分）
∴a2=4，b2=3
椭圆的方程为（5分）
（II）①当直线l的斜率不存在时，l的方程x=0
∴
∴
∴
当斜率不存在时，直线l的方程不存在（7分）
②当斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）
由可得（4k2+3）x2+8kx-8=0
∴
∵
∴=（11分）
∴（12分）
∴即
∴直线l的方程为（14分）