Question

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（I）当a=2时，f（x）=x2-5x+2lnx，由，知f′（1）=2-5+2=-1，由此能够求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（II）=，令f′（x）=0，得．由此进行分类讨论，能够求出结果．
【解析】
（I）当a=2时，f（x）=x2-（2a+1）x+alnx=x2-5x+2lnx，
∴，
∴f′（1）=2-5+2=-1，
∵f（1）=1-5=-4，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：x+y+3=0．
（II）=，
令f′（x）=0，得．
①当a时，由f′（x）＞0，得x＞a，或，
f（x）在，（a，+∞）是单调递增．
由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在上单调递减．
②当a=时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，或x＞，
∴f（x）在（0，a），（）上单调增加，
由f′（x）＜0，得a＜x＜，
∴f（x）在（a，）上单调递减．
④当a≤0时，由f′（x）＞0，得x＞，
∴f（x）在（，+∞）上单调递增．
由f′（x）＜0，得0＜x＜，
∴f（x）在（0，）上单调递减．