Question

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足2acosB=bcosC+ccosB．
（I）求角B的大小；
（II）求函数的最大值及取得最大值时的A值．

Answer

（Ⅰ）由2acosB=bcosC+ccosB结合正弦定理可得cosB=，从而可求角B的大小；
（Ⅱ）由降幂公式与辅助角公式可将f（A）整理为：f（A）=1+sin（2A-），由B=，可求得0＜A＜，从而可求f（A）的最大值及取得最大值时的A值．
【解析】
（Ⅰ）∵2acosB=bcosC+ccosB，由正弦定理===2R得：
2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC…2′
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，…4′
∴cosB=，
∴B=…6′
（Ⅱ）f（A）=2-cos（2A+）
=1-cos（2A+）-cos（2A+）
=1+sin2A-cos2A+sin2A
=1+sin2A-cos2A
=1+sin（2A-）…9′
∵在△ABC中，B=，
∴0＜A＜，
∴-＜2A-＜，
∴当2A-=，即A=时，f（A）取最大值．
∴f（A）max=1+…12′